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Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren zur Lösung eines Nullstellenproblems

$\displaystyle H (x) = 0 , \qquad H : \mathbbm{R}^n \rightarrow \mathbbm{R}^n , \quad x \in \mathbbm{R}^n,
$

lautet:

Dabei ist $ D\, H(x^{(m)})$ die Jacobi- oder Funktionalmatrix der Abbildung $ H$ an der Stelle $ x^{(m)}$. In jedem Iterationsschritt ist die Jacobi-Matrix neu zu berechnen und ein Gleichungssystem der Form

$\displaystyle D\,H (x^{(m)}) \, \delta = H(x^{(m)})$ (2)


zu lösen. Um diesen eventuell großen Rechenaufwand zu reduzieren, ist es möglich, in der Iteration (1) die Jacobi-Matrix $ D\, H(x^{(m)})$ durch eine geeignete Approximation zu ersetzen, etwa $ D\,H (x^{(0)})$ statt $ D\, H(x^{(m)})$ (chord-method). Eine Übersicht der Newton-Varianten findet sich z. B. in Kelley [1].


\begin{algorithm}
% latex2html id marker 368
\caption[Chord--Methode]{Newton--...
...Vert \delta\Vert <$\ tol) or (step $>$\ maxIt)}
\end{algorithmic}\end{algorithm}

 

 

 


Literatur

 
1
C. T. Kelley.
Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, volume 16 of Frontiers in Applied Mathematics.
SIAM, Philadelphia, 1995.



Dr. Frank Liebau
2001-03-17