Up  Home


Gaußsche Quadraturformeln

Die Tabellen 1 bis 12 enthalten die Gewichte $\omega_i$ und Knoten $x_i$ zu den Gauß-Legendre-Formeln $G_1$ bis $G_{12}$

im Intervall $[0,1]$:

\begin{displaymath}\int_0^1 f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} \omega_i \, f(x_i) , \qquad n=1,\ldots,12. \end{displaymath}


Anmerkungen

\begin{displaymath}\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a) \, \sum_{i=1}^{n} \omega_i \, f( a + x_i \, (b-a) ) , \qquad n=1,\ldots,12.\end{displaymath}

\begin{displaymath}\left\vert \int_0^1 f(x) \, dx - \sum_{i=1}^{n} \omega_i \,......t\vert \leq \frac{\Vert f^{2n}\Vert _\infty}{ (2n)! \, C_n^2}\end{displaymath}

(vgl. z.B. Davis[1]).
 

Weitere Quadraturformeln/-verfahren auf Anfrage...



  $\omega_i$ $x_i$
1 1.00000000000000000 0.50000000000000000
Tabelle 1:$G_1$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.50000000000000000 0.2113248654051871
2 0.50000000000000000 0.7886751345948128
Tabelle 2:$G_2$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.27777777777777777 0.11270166537925831
2 0.44444444444444444 0.5
3 0.27777777777777777 0.88729833462074168
Tabelle 3:$G_3$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.17392742256872692 0.06943184420297371
2 0.32607257743127307 0.33000947820757186
3 0.32607257743127307 0.66999052179242813
4 0.17392742256872692 0.93056815579702628
Tabelle 4:$G_4$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.11846344252809454 0.04691007703066800
2 0.23931433524968323 0.23076534494715845
3 0.28444444444444444 0.5
4 0.23931433524968323 0.76923465505284154
5 0.11846344252809454 0.95308992296933194
Tabelle 5:$G_5$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.08566224618958517 0.03376524289842398
2 0.18038078652406930 0.16939530676686774
3 0.23395696728634552 0.38069040695840154
4 0.23395696728634552 0.61930959304159845
5 0.18038078652406930 0.83060469323313225
6 0.08566224618958517 0.96623475710157601
Tabelle 6:$G_6$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.06474248308443484 0.0254460438286207377
2 0.13985269574463833 0.1292344072003027800
3 0.19091502525255947 0.2970774243113014165
4 0.20897959183673469 0.5
5 0.19091502525255947 0.7029225756886985834
6 0.13985269574463833 0.8707655927996972199
7 0.06474248308443484 0.9745539561713792622
Tabelle 7:$G_7$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.050614268145188129 0.019855071751231884
2 0.111190517226687241 0.101666761293186636
3 0.156853322938943635 0.237233795041835505
4 0.181341891689180995 0.408282678752175110
5 0.181341891689180995 0.591717321247824946
6 0.156853322938943635 0.762766204958164495
7 0.111190517226687241 0.898333238706813364
8 0.050614268145188129 0.980144928248768088
Tabelle 8:$G_8$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.040637194180787206 0.015919880246186954
2 0.090324080347428698 0.081984446336682101
3 0.130305348201467719 0.193314283649704793
4 0.156173538520001431 0.337873288298095542
5 0.165119677500629891 0.500000000000000000
6 0.156173538520001431 0.662126711701904513
7 0.130305348201467719 0.806685716350295179
8 0.090324080347428698 0.918015553663317885
9 0.040637194180787206 0.984080119753813043
Tabelle 9:$G_9$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.033335672154344069 0.013046735741414140
2 0.074725674575290293 0.067468316655507746
3 0.109543181257991021 0.160295215850487810
4 0.134633359654998175 0.283302302935376393
5 0.147762112357376435 0.425562830509184420
6 0.147762112357376435 0.574437169490815580
7 0.134633359654998175 0.716697697064623607
8 0.109543181257991021 0.839704784149512218
9 0.074725674575290293 0.932531683344492213
10 0.033335672154344069 0.986953264258585872
Tabelle 10:$G_{10}$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.027834283558086832 0.010885670926971503
2 0.062790184732452306 0.056468700115952349
3 0.093145105463867131 0.134923997212975350
4 0.116596882295995241 0.240451935396594096
5 0.131402272255123326 0.365228422023827493
6 0.136462543388950308 0.500000000000000000
7 0.131402272255123326 0.634771577976172452
8 0.116596882295995241 0.759548064603405959
9 0.093145105463867131 0.865076002787024678
10 0.062790184732452306 0.943531299884047603
11 0.027834283558086832 0.989114329073028542
Tabelle 11:$G_{11}$

  $\omega_i$ $x_i$
1 0.023587668193255914 0.009219682876640375
2 0.053469662997659213 0.047941371814762573
3 0.080039164271673111 0.115048662902847654
4 0.101583713361532962 0.206341022856691286
5 0.116746268269177403 0.316084250500909880
6 0.124573522906701387 0.437383295744265543
7 0.124573522906701387 0.562616704255734512
8 0.116746268269177403 0.683915749499090064
9 0.101583713361532962 0.793658977143308686
10 0.080039164271673111 0.884951337097152346
11 0.053469662997659213 0.952058628185237454
12 0.023587668193255914 0.990780317123359677

Tabelle 12:$G_{12}$

Up  Home

Dr. Frank Liebau
2001-02-14