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Ein Transmissionsproblem

Bei Anwendungen in der Lasertechnologie ist man an den Eigenschaften diffraktiver optischer Elemente (DOEs,
Gratings, optische Gitter) interessiert, insbesondere an den Effizienzen der auftretenden Beugungsordnungen,
etwa bei der Auskoppelung eines Diagnosestrahls. Als Modell zur Berechnung des Beugungswirkungsgrades
eines DOEs dient ein elektromagnetisches Feld, das auf periodisch strukturierte Grenzflächen zwischen unterschiedlichen
Medien trifft. Bei Vorgabe des Gitter- und Schichtprofiles, der Materialien und der Wellenlänge können die Effizienzen
der beiden Polarisationsfälle TE und TM berechnet werden. Je nach Modell (Reflexionsfall, Transmissionsfall) und
Schichtenprofil erhält man ein gekoppeltes System von Integralgleichungen.

Gegeben seien zwei (durch eine Kurve ${\bf c}(t)=(c_1(t), c_2(t))$ getrennte) Gebiete $\Omega_+$ und $\Omega_-$ mit unterschiedlichen optischen Eigenschaften. Es gilt jeweils die Helmholtz-Gleichung: \begin{eqnarray*}\Delta u_1({\bf x}) + k_1 u_1({\bf x}) & = & 0, \qquad \quad ......u_2({\bf x}) & = & 0, \qquad \quad \mbox{ in } \quad \Omega_- .\end{eqnarray*}

In $\Omega_+$ ist das Feld gegeben durch die einfallende Welle und einen unbekannten, reflektierten Anteil \begin{displaymath}u_1({\bf x}) = u^i ({\bf x}) + u^d({\bf x}) .\end{displaymath}

Die Transmissionsbedingungen sind \begin{eqnarray*}u_1({\bf x}) & = & u_2({\bf x}), \qquad {\bf x}\in {\bf c} , ......partial }{\partial n} u_2 ({\bf x}), \qquad {\bf x}\in {\bf c} .\end{eqnarray*} Hierbei sind die Konstanten $\mu_1$ und $\mu_2$ bestimmt durch den Polarisationsfall und die optischen Indizes der Materialien.

Für die unbekannten Funktionen ud und u2 werden Ansätze mit dem Einfachschichtpotential gewählt, d.h. es seien \begin{eqnarray*}u^d({\bf x}) & = & \frac{1}{2} \left( S_1 \, \omega_1 \right)...... y}) \, \omega_s(y) \, ds({\bf y}) , \quad {\bf x}\in \Omega_- .\end{eqnarray*} Die Dichten $\omega_i$, i=1,2, sind gesucht, während die Kernfunktion s (=Singularitätenfunktion zur Helmholtz-Gleichung mit periodischen Randbedingungen) bekannt ist: \begin{displaymath}s({\bf x},{\bf y}) := \frac{1}{2 \, i d} \sum_{n \in \mathb......\bf x}-{\bf y})_1} e^{i \beta_n \vert({\bf x}-{\bf y})_2\vert}\end{displaymath}

(d$\alpha_n$ und $\beta_n$ sind gegeben).

Beide Einfachschichtpotentiale können stetig auf ${\bf c}$ fortgesetzt werden. Für die Normalenableitungen hat man (mit den Sprungbedingungen) \begin{eqnarray*}\frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial n_+} S_1 \omega_1 & = &......2 \omega_2 & = & \frac{1}{2}\left(K_2' - I \right) \omega_2 .\end{eqnarray*} Aus den Transmissionsbedingungen folgen nun die Gleichungen \begin{eqnarray*}\frac{1}{2} S_1 \omega_1 + u^i & = & \frac{1}{2} S_2 \omega_2......al n} u^i & = &\frac{\mu_2}{2} \left(K' - I \right) \omega_2\end{eqnarray*} oder als System

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc}S_1 & - S_2 \\\mu_1 ( K_1' + ......2 \mu_1 \frac{\partial }{\partial n} u^i \end{array} \right) .\end{displaymath} (1)

Dieses System ist i.a. numerisch zu lösen. Danach erfolgt die Auswertung (die Bestimmung der Effizienzen der auftretenden Beugungsordnungen) indem das nun bekannte Feld in der Form (Rayleigh-Entwicklung)

$\displaystyle u({\bf x})$ = $\displaystyle u^i({\bf x}) + \sum_{n \in \mathbbm{Z}} B_n^+ e^{i \alpha_n x_1 + i \beta_n^+ x_2} ,\qquad {\bf x}\in \Omega_+ , \quad x_2 > c_2(t) ,$ (2)
$\displaystyle u({\bf x})$ = $\displaystyle \sum_{n \in \mathbbm{Z}} B_n^- e^{i \alpha_n x_1 - i \beta_n^- x_2}\qquad {\bf x}\in \Omega_- , \quad x_2 < c_2(t),$ (3)

geschrieben wird.

Bemerkung 1   Die Koeffizienten in der Darstellung (2). (3) berechnen sich zu

\begin{displaymath}B_n^\pm := \int_0^d \frac{1}{2 i d \beta_n^\pm}\, e^{- i......n^\pm c_2(t)}\, \omega_\pm(t) \, \vert\dot{c}(t)\vert \, dt\end{displaymath}

($\omega_+=\omega_1$,$\omega_-=\omega_2$).



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Frank Liebau
1999-07-08