Parameteridentifikation: ein Beispiel

Das Problem

Gegeben sei1.

\begin{displaymath}
{\cal A}: \lambda (.) \rightarrow \int_0^1 \lambda(s) \, e^{t\, s} \, ds , \qquad t \in [0,1].
\end{displaymath} (1)

 

Man kann zeigen, daß zu jeder Funktion $y$ aus einem bestimmten Funktionenraum $X (=L^2[0,1]$) genau
ein $\lambda$ (aus $X$) existiert mit $A(\lambda) = y$, d. h. $A$ ist eine Bijektion.

Sei $\lambda(t) = e^t$. So ist

\begin{displaymath}
y (t) := {\cal A } (e^t) = \frac{1}{t+1} \left( e^{(t + 1) } - 1 \right) , \qquad t \in [0,1].
\end{displaymath} (2)


Wir ändern nun den Blickwinkel und betrachten $\lambda$ als ``Parameterfunktion'', die es zu bestimmen gilt, wobei die
Kenntnis der Funktion $y$ aus (
2) vorausgesetzt wird. Dazu sei das folgende numerische Verfahren gewählt:

Etwas Numerik

Für verschiedene $n$ wurde die Kondition der Matrix $A_n$ bestimmt, das Gleichungssystem (6) aufgestellt und gelöst. $\alpha(t)$ sei die durch den Vektor $\alpha$ gegebene stückweise lineare Funktion. Die Kondition, der absolute Fehler $\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty$und der relative Fehler $\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty / \Vert e^{t} \Vert _\infty$ sind in Tabelle 1 aufgeführt.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die exakte und die numerische Lösung: das Verfahren ist instabil. Dieses Verhalten ist nicht auf die Trapezregel beschränkt. Benutzt man eine andere Quadraturformel, so wird man das gleiche Resultat erhalten. Die Ursache für die Instabilität liegt tiefer. Mit funktionalanalytischen Methoden kann das Problem beschrieben und auch ``bekämpft'' werden. Die Tabellen 2 und 4, sowie die Abbildungen 3 - 5 zeigen entsprechend Lösungen des Problems (es wurden zwei Modelle realisiert).

Tabelle 1: Ergebnisse zum Gleichungssystem (6)
$n$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$
${\rm cond}(A)$ 5.87 168.03 910021.07 7.85e+14 7.87e+17 2.79e+19
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty$ 1.0 1.0388 1.08964 4.7194 108.34 267.85
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty / \Vert e^{t} \Vert _\infty$ 36.7 % 38.2 % 40.0 % 173 % 3985 % 9853 %


\includegraphics [width=11.cm]{abb1.eps}
Abbildung 1: Vergleich: exakte Lösung - Lösung von (6) für $n=4$.

\includegraphics [width=11.cm]{abb2.eps}
Abbildung 2: Vergleich: exakte Lösung - Lösung von (6) für $n=16$.

Regularisierung

Die Aufgabe ist selbstadjungiert. Die Diskretisierung führt auf eine nichtsysmmetrische Matrix $A_n$.
D.h. $A_n^T$ist keine Diskretisierung für $A^*$.

Statt (6) löse man eine Diskretisierung des Systems

\begin{displaymath}
\left( \beta \, I + A^* \, A \right) \lambda = A^* \, y ,
\end{displaymath} (7)

wobei $A^*$ die adjungierte Abbildung ist. Nach der Bemerkung kann diese in einer Diskretisierung nicht durch $A_n^T$ersetzt werden (vgl. Tabelle 3).

Tabelle 2: angepaßte Lösung des Problems, Modell 1, $\beta =1e-3$ .
$n$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty$ 0.99 0.60 0.234 0.1 0.063 0.054
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty / \Vert e^{t} \Vert _\infty$ 36.6 % 22.0 % 8.6 % 3.6% 2.3 % 1.9 %



Tabelle 3: angepaßte Lösung des Problems, Modell 1, Adjungierte nicht konsistent.
$n$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty$ 0.99 0.96 1.0339 1.19 1.28 1.3371
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty / \Vert e^{t} \Vert _\infty$ 36.6 % 35 % 38 % 43.9 % 47.4 % 49.18 %



Tabelle 4: angepaßte Lösung des Problems, Modell 2, $\beta =1e-6$ .
$n$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$ 128
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty$ 1.0 1.0335 0.5639 0.202 0.057 0.016 2.9e-3
$\Vert \alpha(t) - e^{t} \Vert _\infty / \Vert e^{t} \Vert _\infty$ 36.7 % 38.0 % 20.7 % 7.4% 2.12 % 0.6 % 0.10 %


\includegraphics[width=11.cm]{abb3.eps}
Abbildung 3: diskrete Lösung, Modell 1 für $n=4$.

\includegraphics[width=11.cm]{abb4.eps}
Abbildung 4: Fehler: Modell 1 für $n=4$.

\includegraphics[width=11.cm]{abb5.eps}
Abbildung 5: Fehler: Modell 2 für $n=128$.

 

Kommentar

Insgesamt zeigt dieses sehr schöne Beispiel:

 

Literatur

 
1
A. Kirsch. Inverse problems. In ??, volume 84 of International Series of Numerical Mathematics, pages 117-137, Basel, 1988. Birkhäuser Verlag.

Über dieses Dokument ...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 99.1 release (March 30, 1999)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999,
Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html
-prefix ip -html_version 4.0 -split 0 -font_size 12pt InveresProblem.tex

The translation was initiated by Dr. Frank Liebau on 2001-03-17


Fußnoten

... sei1
Das Beispiel stammt aus Kirsch[1].

Up  Home

 

Dr. Frank Liebau
2001-03-17